Розміщення прямих в просторі

Перевір себе

Мимобіжні прямі

Ознака мимобіжності прямих

Часто при розв'язуванні задач необхідно з'ясовувати: чи мимобіжні дані прямі? Користуючись означенням мимобіжності прямих, важко відповісти на це питання. Тому сформулюємо й доведемо ознаку мимобіжних прямих.

Теорема.

Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга пере­тинає цю площину в точці, яка не лежить на першій пря­мій, то ці прямі мимобіжні.

 Доведення

Нехай пряма а лежить у площині α , а пряма b перетинає цю площину в точці А такій, що А  α (рис. 38). Доведемо, що прямі а і b мимобіжні. Припустимо, що прямі a і b не мимобіжні, тобто вони лежать в деякій площині β . Площина β проходить через пряму а і точку А і тому збігається з площиною α . Таким чином, пряма b лежить в площині α, що супере­чить умові. Отже, прямі a і b не лежать в одній площині, що і треба було довести.

 

Виконання вправ

1. Дано в трикутнику піраміду SABC (рис. 39). Довести, що вказані прямі мимобіжні.a) SC і АВ; б) SB і АС; в) AS і ВС.

 

2. Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 40). 

Довести, що вказані прямі мимо­біжні.

а) АВ і СС1;    б) АС1 і DC;    в) AC і B1D1;     г) АС1 і ВА1.

3. Трикутники АВС і ABD не лежать 

в одній площині.

 Доведіть, що прямі АВ і CD не

 лежать в одній площині.

4. Пряма с перетинає пряму a 

і не перетинає пряму b,

 паралельну прямій а. 

Доведіть, що b і с — мимобіжні прямі.